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VIII Jornadas Crisis

La proporción áurea y fractales

é

Dos lenguajes del arte

Fernando Corbalán

Vamos a tratar una proporción muy celebrada desde hace siglos en diferentes aspectos
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de la actividad humana, conocida con nombres muy sonoros (‘áurea’, ‘de oro’, ‘divina’) í
á
que a primera vista parecen exagerados. Y de otro lenguaje muy actual también útil en la áó

actividad artstica: los fractales

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Fractal de Koch El Hombre de Vitruvio (Leonardo da Vinci)

á

1.- La proporcin urea
Esa relacin es igual al número Liber abaci (1202) de Leonardo de Pisa,
La proporcin urea tiene un ori- ureo y se representa con la letra grie- ‘Fibonacci’ como solución al siguiente

gen modesto. Lo que en la Grecia clsi- ga ɸ (fi). Como AB medir M + m, problema: ‘¿Cuántas parejas de cone-
ɸ

ca se llamaba dividir un segmento ‘en ser: (M+m)/M = M/m = jos tendremos a fin de año si comen-
media y extrema razn’: hacer dos par- Ese cociente no depende de la lon- zamos con una pareja que produce

tes de distinta longitud, de forma que gitud del segmento y su valor (se calcula cada mes otra pareja que procrea a su

el cociente entre la longitud de todo
con una ecuacin de segundo grado) es: vez a los dos meses de vida?’
éé
el segmento y la de la parte mayor sea ɸ =
La respuesta, por meses, es:
é
igual al de esa parte mayor entre la 1,1,2,3,5,8,13, 21, 34, 55, 89, 144, ... que

menor. De forma concisa: ‘El todo es a Parece poco atractivo, pero cumple: forman la ‘Sucesión de Fibonacci’
lapartecomolapartealresto’.
ɸ2=ɸ+1
(SF),definidacomo‘losdosprimeros

“ɸ3=ɸ2+ɸ=2ɸ+1 trminossonigualesa1ycadaunode
ɸɸɸɸé
4=3+2=3+2 lossiguientesesigualalasumadelos
Todos llevamos en el ɸ5=ɸ4+ɸ3=5ɸ+3 dosquelepreceden’.

ñ
ɸ6=ɸ5+ɸ4=8ɸ+5
Vemos que los coeficientes de
bolsillo uno o varios RA: ɸ
Es decir, que cualquier potencia de las potencias de son dos términos é“

lo son el DNI, el carn de ɸ es igual a la suma de las dos potencias consecutivos de la SF. Si hallamos

conducir y las tarjetas de anteriores. Tambin es curioso el valor el cociente entre cada uno de los
ɸ ɸ
crdito
de su inverso: 1/ = - 1
trminos de la SF y el anterior rá-
Se puede aproximar ɸ sacando pidamente la diferencia con ɸ se é

decimales de la raz, pero hay mane- hace muy pequea, de forma que

En el segmento AB un punto inte- ras ms sencillas de encontrar buenas a partir del dcimo trmino (55/34

rior X lo divide de forma urea cuando aproximaciones con la conocida ‘su- = 1.617647058823529) es menor de 1

cumple: AB/AX = AX/XB
cesin de Fibonacci’. Aparece en el
milsima. Por medio de los trminos

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