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Verdad

Matemáticas y Verdad

Fco. Javier Pascual Burillo

Las matemáticas se presentan como una ciencia cierta. Sin embargo, en matemáticas no

todo lo verdadero es demostrable ni a la inversa

Kasner y Newman citan en Ma- Pero en este artículo nuestro autoevidentes, esto es, que resulten

temáticas e Imaginación la siguiente objetivo es hablar más de la reacción lo su cientemente razonables para
anécdota: Tras obtener la demos- de Peirce que de la Fórmula, y es que que no se puedan negar, o sea con la

tración de la Fórmula de Euler eiπ – de sus palabras se puede inducir que intención de que sean verdaderos.

1=0, el matemático estadounidense considera que si algo es demostrable Respecto de las reglas de inferencia,
Benjamin Peirce, se volvió hacia sus —válido— entonces es verdadero. las que se utilizan son las de la lógica

estudiantes y dijo: “Señores, esto
P“ero ¿en realidad es esto así?
de segundo orden que, por otro lado,

es completamente cierto, es abso- respetan las condiciones de verdad.
lutamente paradójico; no podemos Por tanto, cualquier conclusión
Cualquier conclusión
entenderlo y no sabemos qué signi- obtenida a partir de los axiomas re-
obtenida a partir de
ca. Pero lo hemos demostrado, y sultará verdadera, con la única con-
por lo tanto sabemos que debe ser los axiomas resultará dición de que los axiomas también

verdadero”.
verdadera. con la única lo sean.

La Fórmula de Euler es a me- Sin embargo, no resulta tan “
nudo nombrada como la más bella condición de que los sencillo para todos los axiomas asig-

de las matemáticas. En una aparen- axiomas también lo sean.
narles un valor de verdad. Tomemos

temente simple relación aparecen por ejemplo los Axiomas de Zer-
los cinco números más importantes melo-Fraenkel para la teoría de con-

de las matemáticas. Los números 0 juntos. Consideremos el Axioma de

y 1, el número e —base de los loga- Vayamos por partes. En pri- Extensionalidad: “Dos conjuntos X
ritmos neperianos— el número π,
mer lugar tendremos que ver cómo e Y son iguales únicamente si contie-

y el número i —unidad imaginaria funcionan, al menos en teoría, las nen los mismos elementos”. Parece

equivalente a la raíz cuadrada de matemáticas. Desde un punto de que no hay posibilidad de negarlo;
-1—. Y no deja de ser sorprendente vista formalista, las matemáticas no no podemos imaginar ninguna si-

que dos números irracionales como son sino unas nociones primitivas
tuación que contravenga el axioma.

e y π —con in nitas cifras decima- y unos axiomas junto a unas nor- Pero hay otros más problemáticos,
les no periódicas—y trascendentes, mas de inferencia que nos permiten como el Axioma de Elección: “Dada

no siendo solución de ninguna ecua- elaborar Teoremas a partir de los una familia de conjuntos no vacíos

ción polinómica con coe cientes mismos. Sin duda, la elección de las podemos coger un elemento de cada
enteros, se encuentren ligados de nociones primitivas y de los axio- conjunto”. Este axioma no resulta

esta sencilla forma.
mas se realiza de forma que resulten
tan obvio, porque al decir “familia”

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