Page 23 - Crisis 11

Artist’s impression of the Banach–Tarski Paradox (Benjamin D. Esham)

no acotamos su tamaño, estamos quedaría resuelto. Pero Gödel y Co- lutamente paradójico, pero podemos

incluyendo tanto “familias” nitas hen demostraron que este axioma entenderlo y sabemos qué signi ca.
como in nitas. Tratando con can- es independiente del resto y, por Lo hemos demostrado pero sabemos

tidades nitas el axioma aparece tanto, indecidible. Podemos conside- q“ue es falso.

evidente. De una familia de cajas rarlo verdadero o falso. La opción
con objetos dentro, es posible coger de la matemática actual es aceptar-
Está demostrado que
un objeto de cada caja. En el in nito lo como verdadero, pues cuando
es posible descomponer una
es donde encontramos los proble- la “familia” es nita, el axioma
mas, ¿es posible tomar un elemento resulta evidente y no se encuentra bola en un número nito

de cada conjunto de una familia el motivo para que, en caso de que
de piezas y reensamblarlas
in nita de conjuntos? (¿es posible la “familia” fuera in nita, no se “
coger un objeto de cada caja de una pudiera elegir.
para dar como resultado dos

familia in nita de cajas?). Ya sabe- Sin embargo, resulta que con bolas idénticas a la original.

mos que no hay familias in nitas la contribución necesaria de este
de cajas, pero ¿hay familias infinitas axioma, es posible demostrar un

de conjuntos? Y entonces, ¿en qué teorema no trivial, el Teorema de

sentido podemos decir que este Banach-Tarski –también conocido La única solución que nos que-
axioma es verdadero?
como Paradoja de Banach-Tarski. da es conformarnos con que las no-
“
Este Teorema dice que es posible ciones de demostrable y verdadero

¿Es posible coger un descomponer una bola en un nú- no tienen la misma extensión. Esto
mero nito de piezas y reensam- es, que podemos encontrar propo-
objeto de cada caja de una “
blarlas para dar como resultado dos siciones verdaderas que no sean

familia in nita de cajas?
bolas idénticas a la original. (Ver demostrables (entre otras, las propo-
ilustración)
siciones indecidibles) y otras demos-

Pero esto es algo que contrasta trables que no sean verdaderas, en

con nuestra experiencia cotidiana el sentido de que no se adecúan a la
Podríamos basarnos en la más elemental. No es posible hacer- realidad empírica. Lo cual nos lleva

misma teoría. Si al tomar como lo. Con el material de una bola, no a la cuestión, no menos interesante,

verdadero el Axioma de Elección se pueden hacer dos. Imposible. A de la relación de las matemáticas
(o su negación) encontráramos una diferencia de la Fórmula de Euler, el con el mundo. Pero esa es, sin duda,

contradicción lógica, el problema
Teorema de Banach-Tarski es abso-
otra historia.

23